Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей»
СОГЛАСОВАНО
Председатель ЛМО
учителей математики и
информатики

СОГЛАСОВАНО
Заместитель директора по
УВР

УТВЕРЖДЕНО
Директор

Сычев И.С.
« 31 » августа 2022 г.

Синицкая И.В.
« 31 » августа 2022 г.

Беляевская С.К.
« 31 » августа 2022 г.

Рабочая программа
элективного курса по алгебре и началам математического анализа
«Использование функций для решения уравнений»
10-11 классы
10а, 11а, 11б классы
(1 час в неделю, 34 часа в 10 классе, 33 часа в 11 классе, всего 67 часов)

Составители:

Сычев И.С., Ковальчук М.Д.

Реутов
2022-2023 учебный год

Пояснительная записка
Предлагаемый курс «Использование функций для решения уравнений» является
предметно-ориентированным и предназначен для расширения и углубления теоретических и
практических знаний учащихся в 10-11 классах общеобразовательных учреждений и
рассчитан на 67 часов.
Функциональная линия просматривается в курсе алгебры, начиная с 7 класса.
Возникает потребность обобщить, углубить и систематизировать вопросы, связанные с
областью определения функции, множеством значений, четностью и нечетностью,
периодичностью функций, а также их взаимосвязи с решением уравнений и неравенств.
Многие задания ЕГЭ требуют аккуратного применения вопросов, связанных с
периодичностью функций, их монотонностью, нахождением промежутков убывания и
возрастания, точек экстремума и экстремумов функций.
Программа данного курса ориентирована на приобретение обучающимися
определенного опыта решения задач, связанных со знанием свойств функций, эффективными
методами, которые позволят школьнику решать многие типичные задачи быстро, коротким
способом, экономя экзаменационное время на более сложные (нестандартные) задания.
Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала
анализа.
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического
стиля мышления. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования
вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать,
обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Алгебре
и началам математического анализа принадлежит ведущая роль в формировании
алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму. В
ходе решения задач — основной учебной деятельности на уроках математики —
развиваются творческая и прикладная стороны мышления.
Учебно-методическая литература для изучения курса:
1. Математика. 10-11 классы. Функции помогают уравнениям: элективный курс/авт.-сост.
Ю.В. Лепехин.- Волгоград: Учитель.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач:
Учебное пособие для 11 кл. сред. Шк.-М.: Просвещение.
3. Четвериков А. «Задачи с параметрами» - газета «Математика» №13 2017.
Цель курса «Использование функций для решения уравнений»
Целью курса является углубление и расширение знаний, умений и навыков учащихся
по алгебре и началам анализа.
Результаты освоения курса.
Изучение математики по данной программе способствует формированию у
обучающихся личностных, метапредметных, предметных результатов обучения,
соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта
среднего общего образования.
Личностные результаты:
–

готовность и способность к образованию и самообразованию на протяжении всей
жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной
профессиональной и общественной деятельности;

–

осознанный выбор будущей профессии на основе понимания ее ценностного содержания
и возможностей реализации собственных жизненных планов.
2

Метапредметные результаты:
–

овладение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной
деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к
самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных
методов познания для изучения различных сторон окружающей действительности;

–

расширение и систематизация знаний учащихся, которые позволяют осмысленно
понимать теоретический материал, решать практические задачи из разных предметных
областей.
Предметные результаты:
10 класс.

Выпускник научится:
–

Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и
неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения,
равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;

–

решать дробно-рациональные и иррациональные уравнения;

–

овладеть основными типами показательных, логарифмических, иррациональных,
степенных уравнений и неравенств и стандартными методами их решений и применять
их при решении задач;

–

владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать метод
решения и обосновывать свой выбор;

–

использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробнорациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

–

владеть разными методами доказательства неравенств;

–

решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе некоторые
уравнения 3-й и 4-й степеней;

–

понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и
уметь их доказывать;

–

владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать метод
решения и обосновывать свой выбор;

–

свободно использовать тождественные преобразования при решении уравнений и систем
уравнений.

Выпускник получит возможность научиться:
–

свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и логарифмических
уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и неравенств, тригонометрических
уравнений и неравенств, их систем;

–

свободно решать системы линейных уравнений;
11 класс.

Выпускник научится:
–

Владеть понятиями: область определения и множество значений функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом промежутке,
убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на
числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции;
уметь применять эти понятия при решении задач;
3

–

владеть понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;

–

применять при
ограниченность;

–

применять при решении задач преобразования графиков функций;

–

владеть понятиями числовая последовательность, арифметическая и геометрическая
прогрессия;

–

применять при решении задач свойства и признаки арифметической и геометрической
прогрессий.

решении

задач

свойства

функций:

четность,

периодичность,

Выпускник получит возможность научиться:
–

решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами.
Содержание курса
10 класс.
Свойства функций в решении уравнений и неравенств.

Нахождение области определения функции в зависимости от параметра. Нахождение
значений параметра функции по области определения. Алгоритм исследования
существования корней уравнения с учетом множества значений функции. Рациональные
способы решения уравнений и неравенств с исследованием области допустимых значений.
Понятие равносильного перехода. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Неравенства, содержащие модуль, вида ǀf(x)ǀ ˂ǀg(x)ǀ, ǀf(x)ǀ ˂g(x).
Тригонометрические уравнения и системы.
Тождественные преобразования в решении тригонометрических уравнений. О
сужении и расширении области определения уравнения в процессе преобразований. Форма
записи множества решений уравнений и систем. Методы искусственных преобразований.
Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений. Нестандартные
тригонометрические подстановки.
Показательные уравнения и неравенства.
Правила равносильных переходов при решении показательных и логарифмических
неравенств. Решение неравенств вида a f(x) ˃ a g (x), log a f(x) ˃0, log a f(x) ˃ log a g (x).
11 класс.
Производная и касательная.
Определение числа корней уравнения с помощью производной. Производная при
доказательстве неравенств. Связь между корнями дифференцируемой функции и корнями
производной. Производная и наглядно - графический метод в решении задач. Понятие
дифференциального уравнения.
Показательные уравнения и неравенства.
Правила равносильных переходов при решении показательных и логарифмических
неравенств. Решение неравенств вида a f(x) ˃ a g (x), log a f(x) ˃0, log a f(x) ˃ log a g (x).
Уравнения и неравенства, содержащие сложную экспоненту a(x)b(x)=cb(x)logca(x) .
Неравенства c переменным основанием вида a(x)f(x) ˃ a(x) g (x), log a(х) f(x)˃0,
log a(х) f(x) ˃ log a(х) g(x). Использование нестандартных приемов решения стандартных
уравнений и неравенств. Метод «Мини-максов».
Задачи с параметром.
4

Использование монотонности и экстремальных свойств функций. Симметрия в
задачах. Решение относительно параметра. Функционально-графический подход в решении
задач с параметрами. Производная и параметры. Задачи с логическим содержанием.
Задачи с параметрами в заданиях единого государственного экзамена.

№
1
2
3
№
1
2
3

Учебно-тематический план
10 класс.
Название темы
Свойства функций в решении уравнений и неравенств
Показательные уравнения и неравенства.
Тригонометрические уравнения и неравенства
ИТОГО
11 класс.
Название темы
Показательные уравнения и неравенства.
Производная и касательная.
Задачи с параметром
ИТОГО

Кол-во часов
12
11
11
34
Кол-во часов
14
8
11
33

5

Тематическое планирование. 10 класс
Номер
пункта
1.1
1.2
1.3

1.4

1.5
1.6
1.7

2.1

2.2

3.1

Содержание материала

Кол-во
часов

Модуль РПВ «Школьный урок»

Характеристика основных видов
деятельности ученика (на уровне
учебных действий)

Свойства функций в решении уравнений и неравенств (12 часов)
Нахождение
области
определения
1
8 сентября – 100 лет со дня Оценивать число корней целого
функции в зависимости от параметра.
рождения
Макарычева
Юрия алгебраического
уравнения.
Николаевича,
советского
и
Находить
кратность
корней
Нахождение значений параметра функции
1
российского педагога-математика, многочлена.
по области определения.
автора школьных учебников по Применять различные приёмы
Алгоритм исследования существования
2
алгебре
решения целых алгебраических
корней уравнения с учетом множества
19 ноября – день рождения
уравнений: подбор целых корней;
значений функции.
Михаила Васильевича Ломоносова, разложение
на
множители
Рациональные
способы
решения
2
великого российского ученого,
(включая метод неопределённых
уравнений и неравенств с исследованием
отметившегося во многих отраслях коэффициентов);
понижение
области допустимых значений.
науки
степени
уравнения;
подстановка
Понятие равносильного перехода.
1
1 декабря – 230 лет со дня (замена неизвестного).
Решение иррациональных уравнений и
3
рождения Лобачевского Николая Находить числовые промежутки,
неравенств.
Ивановича,
российского содержащие корни алгебраических
Неравенства, содержащие модуль, вида
2
математика и деятеля народного уравнений.
ǀf(x)ǀ ˂ǀg(x)ǀ, ǀf(x)ǀ ˂g(x).
образования, одного из создателей Решать рациональные неравенства
неевклидовой геометрии
методом интервалов.
Решать системы неравенств
Показательные уравнения и неравенства. (11 часов)
Правила равносильных переходов при
5
Решать
простейшие
решении
показательных
и
показательные и логарифмические
логарифмических неравенств. Решение
уравнения и неравенства, а также
f(x)
g (x)
неравенств вида a ˃ a
, log a f(x) ˃0,
уравнения
и
неравенства,
log a f(x) ˃ log a g (x).
сводящиеся к простейшим при
помощи замены неизвестного
Решение неравенств вида a f(x) ˃ a g (x),
6
log a f(x) ˃0, log a f(x) ˃ log a g (x).
Тригонометрические уравнения и неравенства (11 часов)
Тождественные
преобразования
в
2
Решать
простейшие

3.2

3.3
3.4
3.5
3.6

решении тригонометрических уравнений.
О сужении и расширении области
определения уравнения в процессе
преобразований.
Форма записи множества решений
уравнений и систем.
Методы искусственных преобразований.
Решение тригонометрических уравнений
методом экстремальных значений.
Нестандартные
тригонометрические
подстановки

тригонометрические
уравнения,
неравенства, а также уравнения и
неравенства,
сводящиеся
к
простейшим при помощи замены
неизвестного, решать однородные
уравнения.
Использовать
нестандартные
тригонометрические подстановки.
Применять все изученные свойства
и
способы
решения
тригонометрических уравнений и
неравенств
при
решении
прикладных задач.
Решать
тригонометрические
уравнения,
неравенства
при
помощи
введения
вспомогательного угла, замены
неизвестного t = sin x + cos x.

1

1
2
2
3

Примерное тематическое планирование. 11 класс
Номер
пункта
1.1

1.2

1.3

1.4

Содержание материала

Кол-во
часов

Модуль РПВ «Школьный урок»

Показательные уравнения и неравенства. (14 часов)
Правила равносильных переходов при
2
8 сентября – 100 лет со дня
решении
показательных
и
рождения
Макарычева
Юрия
логарифмических неравенств.
Николаевича,
советского
и
f(x)
g
(x)
российского педагога-математика,
Решение
неравенств вида a ˃ a
,
2
автора школьных учебников по
log a f(x) ˃0, log a f(x) ˃ log a g (x).
алгебре
19 ноября – день рождения
Уравнения и неравенства, содержащие
2
b(x) b(x)log a(x)
Михаила Васильевича Ломоносова,
сложную экспоненту a(x) =c
c .
великого российского ученого,
отметившегося во многих отраслях
Неравенства c переменным
основанием
2

Характеристика основных видов
деятельности ученика (на уровне
учебных действий)
Знать определение равносильных
уравнений
(неравенств)
и
преобразования,
приводящие
данное уравнение (неравенство) к
равносильному,
устанавливать
равносильность
уравнений
(неравенств)
Знать определение уравненияследствия,
преобразования,
приводящие данное уравнение к
7

вида a(x)f(x) ˃ a(x) g (x), log a(х) f(x)
˃0, log a(х) f(x) ˃ log a(х) g(x).
1.5

1.6
2.1

2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

науки
уравнению-следствию.
Решать
1 декабря – 230 лет со дня рождения уравнения при помощи перехода к
Лобачевского Николая Ивановича,
уравнению-следствию
российского математика и деятеля
народного образования, одного из
создателей неевклидовой геометрии

Использование нестандартных приемов
3
решения стандартных уравнений и
неравенств.
Метод «Мини-максов».
3
Производная и касательная. (8 часов)
Определение числа корней уравнения с
1
помощью производной.
Производная
при
доказательстве
неравенств.
Связь между корнями дифференцируемой
функции и корнями производной.
Производная и наглядно - графический
метод в решении задач.
Понятие дифференциального уравнения
Простейшие
дифференциальные
уравнения

1
2
2
1
1

Находить точки минимума и
максимума функции.
Находить
наибольшее
и
наименьшее значения функции на
отрезке.
Находить угловой коэффициент
касательной к графику функции в
точке с заданной абсциссой x0.
Записывать уравнение касательной
к графику функции, заданной в
точке.
Применять
производную
для
приближённых вычислений.
Находить промежутки возрастания
и убывания функции.
Доказывать, что заданная функция
возрастает (убывает) на указанном
промежутке.
Находить
наибольшее
и
наименьшее значения функции.
Находить вторую производную и
ускорение процесса, описываемого
при помощи формулы.
Исследовать функцию с помощью
производной и строить её график.
Применять
производную
при
8

решении
геометрических,
физических и других задач
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

Использование
монотонности
и
экстремальных свойств функций.
Симметрия в задачах.
Решение относительно параметра.
Функционально-графический подход в
решении задач с параметрами.
Производная и параметры. Задачи с
логическим содержанием.
Задачи с параметрами в заданиях единого
государственного экзамена.
Системы уравнений с параметром

Задачи с параметром (11 часов)
1
1
1
1
2
3
2

Применять различные приёмы
решения целых уравнений с
параметром: подбор целых корней;
разложение
на
множители
(включая метод неопределённых
коэффициентов);
понижение
степени уравнения; подстановка
(замена неизвестного).
Находить числовые промежутки,
содержащие корни уравнений с
параметром.
Использовать
графический
и
функционально-графический метод
решения задач с параметром.

9